Transmission de la divisibilité

Propriété

Soit \(a\) , \(b\) , \(c \in \mathbb{Z}\) .

• Si  \(b\)  divise  \(a\)  et si  \(c\)  divise  \(b\) , alors  \(c\)  divise  \(a\) .
  
• Si  \(c\)  divise  \(a\)  et si  \(c\)  divise  \(b\) , alors  \(c\)  divise toute combinaison linéaire  \(au+bv\)  avec  \(u\) ,  \(v \in \mathbb{Z}\) .
  
• Si  \(b\)  divise  \(a\) , alors  \(bc\)  divise  \(ac\) .

Démonstration

• Supposons que  \(b\) divise  \(a\) et que  \(c\) divise \(b\) . 
  Il existe \(k\) , \(k' \in \mathbb{Z}\) tels que \(a=kb\) et \(b=k'c\) . 
  On a donc \(a=kb=k(k'c)=(kk')c\) avec \(kk' \in \mathbb{Z}\) , donc \(c\) divise \(a\) .
• Supposons que \(c\) divise  \(a\) et que  \(c\) divise \(b\) . 
  Il existe \(k\) , \(k' \in \mathbb{Z}\) tels que \(a=kc\) et \(b=k'c\) . 
  Pour tous \(u\) , \(v \in \mathbb{Z}\) , on a donc \(au+bv =kcu+k'cv =(ku+k'v)c\) avec \(ku+k'v \in \mathbb{Z}\) , donc \(c\) divise \(au+bv\) .
• Supposons que \(b\) divise \(a\) . 
  Il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=kb\) . 
  On a donc \(ac=kbc\) , donc \(bc\) divise \(ac\) .